В реальности после прописки Вы должны связаться с Schulamt или обратиться непосредственно в школу, в которой хотите учиться. Или ждать, когда Schulamt сам свяжется с Вами. В разных городах всё по-разному.
Мы обратились в школу в день прописки и сын пошёл в школу уже на следующий день. Чем раньше пойдёт, тем ему же лучше

В поликлиниках нет учёта, тут и поликлиник-то нет, только частные праксисы. Идёте или в ближайший или туда, куда возьмут, желательно чуть раньше, чем ребёнок в действительности заболеет, а то ни справку для школы не возьмёте (а без неё нельзя не идти в школу), ни врача не найдёте очень быстро.