Если в договоре аренды не прописан срок, то действует gesetzliche Kündigungsfrist, то есть эти самые 3 месяца. Но можно и договориться с арендодателем, конечно, и съехать раньше. В Вашем примере много неясностей. Все договорённости такого рода, в том числе и о преждевременном расторжении договора аренды (Aufhebungsvertrag) должны быть на бумаге. Девушка не получала деньги, так как, по всей видимости, Джобцентр платил напрямую арендодателю. К сожалению, месяц уже начался. Поэтому требование Джобцентра, скорее всего, правомерно, увы.
Wissenswertes zum Thema Kündigungsfrist für eine Wohnung: Infos zur Mietkündigungsfrist, wann eine fristlose Kündigung vom Mietvertrag möglich ist u.v.m.
www.anwalt.org