Апостилированием свидетельств о рождении, браке, разводе занимается специальный отдел ЗАГС. Предположу, что на всю Москву это будет один единственный отдел в котором будут работать 2-3 человека.
Запрос на апостилирование подаётся через Госуслуги. Там же оплачивается пошлина (2500 р). Там же выбирается дата и время визита в отдел и узнаётся адрес этого самого отдела.
Про доверенность не знаю, но, как известно, "без бумажки ты... ". Разумеется само апостилируемое свидетельство должно быть у того, кто понесёт его в отдел.