Проходил через это (
Blue card до 2х лет, смена работы).
Если вы на Blaue Karte EU и уверены, что род деятельности и доход удовлетворяют требованиям закона, можете отправить в LEA свой запрос со всеми документами и ждать (мне отвечали в течении 4-5 недель). Но имейте в виду, что приступать к работе без их одобрения фактически нельзя. Я думаю они вам ответят в течении вашего периода увольнения, просто внятно согласуйте с новым работодателем. Будет еще быстрее, если ваш новый работодатель работает с LEA BIS, то одобрение будет за неделю.