А по почте нельзя в Берлине прописываться, вы не узнавали? По обычной почте. Нужен заполненный формуляр, копия документа, удостоверяющего личность, и разрешение от арендодателя. Можно даже не слать, а прийти и конверт в ящик бюргерамта бросить. Потом по почте пришлют Meldebestaetigung и наклейку с адресом.
Мы так прописались очень быстро, а термины были аж на ноябрь. Но не в Берлине, конечно.
upd Вот тут пишут, что можно по почте регистрироваться:
Anmeldung einer Wohnung am Standort Bürgeramt I in Köpenick - Service Berlin - Berlin.de Но, наверное, надо узнавать в нужном районе точнее.